|
| Уравнение пропорционального регулятора. |
|
| Отметим на временной оси интервалы с шагом ts. |
| Выделим несколько ошибок (e1,…e5,… e7,… ek) и соответствующие им значения входных регулирующих воздействий (y1,…y5,… y7,… yk), см. рис. 47. |
|
 |
|
| Рис. 47 |
|
| Текущее входное регулирующее воздействие П-регулятора равно произведению коэффициента передачи (усиления) регулятора на значение ошибки в этот момент времени: |
|
 |
|
| Выражение для непрерывного времени: |
|
 |
|
| Уравнение интегрального регулирующего воздействия. |
|
| Ранее мы определили, что поплавковый регулятор можно превратить в интегральный с внешним интегрирующим звеном и площадь под кривой входного управляющего воздействия пропорциональна накопленной величине этого воздействия (объему влившейся в бак воды). |
| Для приближенного вычисления криволинейной площади воспользуемся методом конечной суммы прямоугольников. |
|
 |
|
| Рис. 48 |
|
| Найдем объем влившейся в бак воды за первый отрезок времени: |
|
 |
|
|
| За пятый отрезок времени в бак поступит объем воды: |
|
 |
|
| Суммарный объем влившейся воды за время Tи равное семи отрезкам времени: |
|
 |
|
| или: |
|
 |
|
| Запишем выражение (4) через интегральную сумму: |
|
 |
|
| Принцип действия поплавкового регулятора остался прежним. Для каждого положения поплавка в баке пропорционально отклонению уровня воды устанавливается определенная величина потока вливающейся воды и входное регулирующее воздействие yi равно произведению коэффициента передачи (усиления) на значение ошибки в момент времени i: |
|
 |
|
| Перепишем выражение (5) с учетом (6): |
|
 |
|
| Объем влившейся в бак воды пропорционален накопленному значению ошибки и времени в течение которого регулятор устранял ошибку или, - площади над кривой изменения ошибки. |
| С уменьшением величины ts, количество прямоугольников на участке Ти возрастает и суммарная площадь прямоугольников приближается к криволинейной площади, см. рис. 49. |
|
 |
|
| Рис. 49 |
|
| За точное значение криволинейной площади принимается предел к которому стремится суммарная площадь прямоугольников при неограниченном возрастании их количества (геометрический смысл определенного интеграла). |
| В этом случае выражение для объема воды влившейся в бак в результате интегрального воздействия принимает вид: |
|
 |
|
| где: |
| n - порядковый номер отсчета прямоугольников на участке Ти; |
| i - принимает значения от 0 до n. |
|
| Выражение (8) можно переписать используя определенный интеграл: |
|
 |
|
| где t - переменная интегрирования. |
|
| Накопленная величина интегрального регулирующего воздействия пропорциональна интегралу от ошибки. |
|
| Уравнение пропорционально-интегрального регулирования. |
|
| Прежде чем приступить к определению математического выражения для ПИ-регулирования, рассмотрим физический смысл постоянной времени интегрирования. |
| Вернемся к рисунку 25, где изображена САР с пневматическим ПИД-регулятором. Обратим внимание на вентиль ОС на линии отбора гидростатического давления в баке с помощью которого можно отключать главную обратную связь регулятора. |
|
| “Идеализированные” уравнения для ПИ-, ПД- и ПИД-законов регулирования получены при исследовании разомкнутых систем. Отслеживать работу регулятора в таких системах проще. Результаты исследований применимы для систем в замкнутом состоянии. |
|
| Исходное состояние САР: |
| дроссель ООС полностью открыт, а дроссель ПОС прикрыт; уровень воды в баке находится у заданной отметки X0; количество воды вливающейся Y1 равно количеству воды выливающейся Z1 и САР находится в состоянии равновесия. Замерим величину потока вливающейся воды в бак Y1. |
|
| Отключим главную обратную связь, для этого закроем вентиль ОС. Получим разомкнутую систему. Несколько повернем лимб задатчика уровня в новое положение, чтобы внести ошибку e. Практически мгновенно, благодаря действию пропорциональной составляющей регулятора, поток вливающейся воды изменится и примет значение Y2. |
|
| В дальнейшем проявляется действие положительной обратной связи. Давление сжатого воздуха на выходе реле возрастает с течением времени и в какой-то момент величина входного управляющего воздействия выходит на удвоенное значение, - Y12. Время Тi за которое величина входного управляющего воздействия Y2 удвоилась принимается как постоянная времени интегрирования и служит параметром настройки регулятора, см. рис. 50. С помощью дросселя ПОС можно задавать различные значения для величины Тi. |
| Имеются и другие названия для постоянной времени интегрирования, это: |
| - время изодрома; |
| - reset* time; |
| - repeat time. |
|
| * Название для интегрального воздействия, которое часто используют англоязычные авторы. |
| В первой половине ХХ века Reset называли способ, который имел мало общего с интегральным воздействием. Оператор вручную подстраивал (смещал) задание и таким образом "устранял" неизбежную ошибку П-регулятора. |
| Ошибка не исчезала, - она просто становилась "невидимой". |
|
 |
|
| Рис. 50 |
|
| Очевидно, что с отключенной главной обратной связью внесенная ошибка e имеет постоянное значение, а давление сжатого воздуха на выходе реле регулятора меняется до тех пор пока не достигнет максимального (минимального) значения. |
|
| Запишем выражение для интегральной составляющей регулирующего воздействия в конце времени Тi: |
|
 |
|
| Уравнение (1) можно переписать в виде: |
|
 |
|
| Из рисунка следует, что: |
|
 |
|
| Используя правую часть уравнения (3), можно находить значения интегральной составляющей в конце любого отрезка времени. |
| Например, значениe интегральной составляющей в конце пятого отрезка времени (на рисунке выделено красной линией): |
|
 |
|
| Отметим, что правая часть уравнения содержит накопленное значениe ошибки и времени в течение которого регулятор устранял ошибку (на рис. 50 выделено закрашенной площадью). |
|
| Значение интегральной составляющей управляющего воздействия ПИ-регулятора для любого момента дискретного времени может быть найдено с помощью уравнения: |
|
 |
|
| где: |
| k - порядковый номер отсчета дискретного времени (0, 1, 2, 3, .... t /Ts); |
| i - принимает значения от 0 до k. |
|
| При y1 = 0 текущее значение управляющего воздействия пропорционально-интегрального регулятора для дискретного времени можно вычислить по формуле: |
|
 |
|
| Выражение для непрерывного времени: |
|
 |
|
| Пример. |
|
| На рис. 51 показан график изменения регулируемой величины в процессе управляющего воздействия ПИ-регулятора. Необходимо построить график управляющего воздействия. |
|
| Решение. |
| Найдем площадь над кривой изменения ошибки (E) за время Ти, равную площади закрашенных прямоугольников: |
|
 |
|
| Вычислим постоянную времени интегрирования: Тi = E / e5 = 3,5. |
| Можем построить прямоугольник со стороной e5 (прямоугольник выделен синей пунктирной линией), площадь которого равна E. |
| Примем для упрощения kR = 1 и y0 = 0. |
|
 |
|
| Рис. 51 |
|
| По формуле (6) найдем значения управляющего воздействия: |
|
 |
|
 |
|
 |
|
| На рис. 52 показаны графики управляющего воздействия ПИ-регулятора (красная линия) и пропорциональной составляющей (синяя пунктирная линия) построенные по найденным значениям: |
|
 |
|
| Рис. 52 |
|
| Уравнение пропорционально-дифференциального регулирования. |
|
| Раскроем физический смысл постоянной времени дифференцирования. Обратимся к рис. 32. |
|
| Случай 1. |
|
| Дроссель ООС полностью открыт (П-регулятор); уровень воды в баке зафиксирован у заданного значения X0 (e = 0); поток вливающейся воды Y равен потоку выливающейся Z. Закроем вентиль D , чтобы получить разомкнутую систему. |
|
| В этом случае отклонение уровня от заданного значения приводит к изменению давления сжатого воздуха на выходе реле регулятора в то время как регулирующий вентиль остается в исходном положении. |
|
| Для регистрации изменения давления сжатого воздуха на выходе реле установлен манометр. |
|
|
 |
|
| Рис. 53 |
|
| Откроем больше выходной вентиль и уровень в баке начнет понижаться. Пропорционально величине ошибки устанавливается давление сжатого воздуха на выходе реле регулятора, см. восходящий участок на графике (синяя линия). Прикроем выходной вентиль так, чтобы поток вливающейся воды Y сравнялся с потоком выливающейся Z. Получим новое равновесное состояние системы, с ошибкой e и давлением сжатого воздуха на выходе реле p = p1 + kR e. |
|
| Случай 2. |
|
| Дроссель ООС прикрыт (ПД-регулятор); уровень воды в баке зафиксирован у заданного значения X0 (e = 0); поток вливающейся воды Y равен потоку выливающейся Z.
|
| Закроем вентиль D. |
| Увеличим поток Z на туже величину, как в Случае 1. |
| В начальный момент переходного процесса действие ООС блокируется дросселем ООС, что приводит к скачкообразному изменению давления сжатого воздуха на выходе реле (график изображен красной линией). В дальнейшем, в процессе выравнивания перепада давления сжатого воздуха на дросселе ООС и одновременном увеличении ошибки, график давления сжатого воздуха на выходе реле представляет собой восходящую линию. |
| Вернем выходной вентиль в исходное положение (выравняем потоки Y и Z). |
| Давление сжатого воздуха на выходе реле понизится до значения p = p1 + kR e. |
|
| Время Td принимается как постоянная времени дифференцирования и служит параметром настройки регулятора. Значения Td можно задавать с помощью дросселя ООС. |
| На рис. 54 выделены угловые и линейные величины с помощью которых запишем уравнение для давления сжатого воздуха на выходе реле в момент времени: t = 4. |
|
 |
|
| Рис. 54 |
|
| Из рисунка следует, что: |
|
 |
|
| Величину давления сжатого воздуха на выходе реле в момент времени t = 4 найдем по формуле: |
|
 |
|
| Выражение для вычисления текущего значения давления сжатого воздуха на выходе реле для дискретного времени: |
|
 |
|
| Если существует предел отношения (ek - ek-1) / ts при ts → 0 и p1 = 0, выражение (3) можно переписать в виде идеализированного уравнения для непрерывного времени: |
|
 |
|
| Пример. |
|
| На рис. 55 показан график изменения регулируемой величины в процессе управляющего воздействия ПД-регулятора. Td = 4. |
| Необходимо построить график управляющего воздействия. |
|
 |
|
| Рис. 55 |
|
| Решение. |
|
| Для упрощения принимаем KR = 1 и y1 = 0. |
| Вначале определим величину ошибки для каждого момента времени, а затем, воспользовавшись формулой (3), найдем значения управляющих воздействий. |
| На рис. 56 показаны графики управляющего воздействия ПД-регулятора (красная линия) и пропорциональной составляющей (синяя пунктирная линия) построенные по найденным значениям, где yp6 и yd6, - пропорциональная и дифференциальная составляющие управляющего воздействия y6. |
|
 |
|
| Рис. 56 |
|
| Уравнение пропорционально-интегрально-дифференциального регулирования. |
|
| Управляющее воздействие ПИД-регулятора представляет собой сумму трех воздействий: пропорционального, интегрального и дифференциального. Уравнение ПИД-регулятора для дискретного времени: |
|
 |
|
| а уравнение идеального (безинерционного) ПИД-регулятора имеет вид: |
|
 |
|